“El mayor defecto de la raza humana es nuestra incapacidad para comprender la función exponencial”. A. Allen Bartlett

 

Durante el siglo XX la economía humana se expandió (exponencialmente) 16 veces (Producto Interior Bruto) y el consumo de energía comercial 17 veces.

Esto ha sido posible principalmente gracias al flujo de combustibles fósiles.

Sin embargo, un crecimiento como este (de alrededor del 3% anual) no es posible mantenerlo indefinidamente (y por tanto la economía no puede siempre crecer exponencialmente).

 

Suponed que llevamos al límite las leyes físicas y que creamos hoy una máquina perfecta capaz de convertir la materia en pura energía usable (por ejemplo electricidad) a partir de la conocida expresión de Einstein: E = m·c².

A partir de expresiones analíticas o apoyándose en una hoja de cálculo, calcule:

1.- Cuánto tiempo tardaríamos en hacer hervir los océanos (bastaría con incrementar unos 36 W/m² la potencia disipada promedio en toda la superficie de la Tierra).

2.- Cuánto tiempo tardaríamos en consumir la Tierra entera y cuándo necesitaríamos meter en la máquina cada año un planeta como la Tierra.

3.- Cuánto tiempo tardaríamos en consumir nuestro sistema Solar (incluido el Sol).

4.- ¿La velocidad de la luz nos limitaría la expansión?

5.- ¿Cuándo consumiríamos el Universo entero si los viajes fueran instantáneos?

 

En contexto:

Homo Sapiens apareció hace unos 150000 años

El género Homo aparece hace unos 2,5 millones de años

El planeta Tierra tiene unos 4500 millones de años

Solución:

El consumo de energía actual es de unos 570EJ/año que convertido en unidades de potencia es de unos 18TW. Esta energía sufre varias transformaciones hasta que es dispersada en forma de calor en la superficie terrestre. Como la superficie terrestre es de 510 millones de Km², si repartiéramos esta potencia uniformemente tendríamos 0,035 W/m². Si la Tierra no aumenta su temperatura por esta potencia disipada, entonces debe radiarla en forma de calor al espacio. Es una potencia despreciable frente al efecto indirecto que causa sobre la atmósfera la quema de combustibles fósiles y otros factores que dan lugar al cambio climático. Hoy este “forzamiento radiativo” (el incremento de potencia por m²) se calcula en 1,5W/m² y ya ha sido capaz en el último siglo de incrementar la temperatura en 0,8ºC. Un incremento a mayores de 36W/m² sobre el sistema haría cambiar el clima tanto como para que el incremento de temperatura en la Tierra hiciera “hervir” los océanos (temperatura media de 100ºC). La idea es que al incrementarse la temperatura aumenta la evaporación de los océanos y por tanto la cantidad de agua en la atmósfera. Pero el vapor de agua es un gas de efecto invernadero y se produciría una realimentación positiva (más temperatura, más vapor, más temperatura…).

36W/m² de disipación energética directa es 1000 veces más que la disipación actual de energía (los 0,035W/m² que calculábamos antes).

Por tanto, si consumiéramos 1000 veces más energía al año que ahora, evaporaríamos los océanos.

El enunciado nos dice que el consumo aumentó en 100 años 17 veces, si este ritmo se mantuviera 200 años, el consumo aumentaría 289 veces (17 por 17) y en 300 años el consumo sería 4913 veces mayor que el actual (17³). Luego en menos de 300 años tendríamos la condición para evaporar los océanos.

Obviamente el caos climático acabaría mucho antes con la Humanidad, como sabemos.

Formalicemos matemáticamente:

 Las necesidades de consumo energéticas anuales en el siglo m serían: E =  (570·10¹⁸)·17^m Julios.

En el momento presente consumimos al año el equivalente a 6333 Kg de masa a partir de la ecuación de Einstein, por tanto, en el siglo m necesitaríamos 6333·17^m Kg de materia a introducir en nuestra “máquina perfecta” cada año.

Como la masa de la Tierra es de unos 6·10²⁴Kg, igualando a 6333·17^m Kg y despejando m, obtenemos 17, es decir, en el siglo 17 después del momento presente consumiríamos en un año toda la masa de la Tierra. La Tierra la habríamos consumido antes, ya que durante esos siglos hemos ido metiendo cada año materia en la máquina. Por tanto, el problema es en realidad el de calcular la energía-materia destruida en la máquina a lo largo del tiempo hasta acumular la masa de la Tierra. Es decir, un sumatorio de una función potencial (serie geométrica).

Si formalizamos matemáticamente la función en vez de por siglos por años y tomamos un crecimiento del 3% anual, en el año n consumiríamos 1,03ⁿ veces lo que consumimos ahora. Y ese año, habríamos acumulado un consumo del Σ  1,03ⁱ con i desde 1 hasta n veces el consumo actual. Ese sumatorio da como resultado: (1,03-1,03ⁿ⁺¹)/(1-1,03) o aproximadamente 1,03ⁿ⁺¹/0,03. Si ahora esto lo igualamos a las masas de la Tierra, el Sol, etc. podremos calcular el año en que habríamos consumido esas masas:

Tierra: 6·10²⁴ Kg = 6333·1,03ⁿ⁺¹/0,03, es decir, aproximadamente n = 1500 años (en menos de 200 años después estaríamos consumiendo 1 Tierra cada año)

Sol: 2·10³⁰ Kg , n = 1950 años

Universo: 1·10⁵³ Kg, n = 3700 años

 

Comentarios varios:

 Es decir, que 3700 años nos bastarían para consumir la masa de nuestro Universo (y en el 3832 d.m.p -después de la “máquina perfecta”- consumiríamos un Universo al año). En realidad, el crecimiento exponencial está limitado por más leyes físicas que la masa del Universo. La velocidad de la luz, por ejemplo, nos limitaría la accesibilidad a las estrellas, si pudiéramos viajar a esta velocidad con nuestra máquina, como mucho en 3700 años habríamos viajado a 3700 años-luz de distancia y por tanto tendríamos “solo” a nuestra disposición las estrellas a esa distancia de la Tierra (unos pocos cientos de millones frente a los más de 100000 millones de estrellas que contiene nuestra Galaxia). Ir a por la galaxia de Andrómeda (la más cercana del tamaño de la Vía Láctea) nos llevaría más de un millón de años.

De las leyes de la termodinámica extraemos también que la luminosidad de nuestra máquina superaría a la de toda nuestra Galaxia antes de consumir nuestro Sol, sería difícil que no se “fundiera” tal máquina (los 15 millones de grados Celsius del centro de nuestro Sol se quedarían pequeñitos al lado de la temperatura de la máquina)…

Por supuesto, además de leyes fundamentales de la física, existen otras leyes (biofísicas, ecológicas, geológicas, etc.) que hacen de factores limitantes al crecimiento exponencial. De hecho, esos factores limitantes están actuando ya desde hace unos años.

La Naturaleza se impone. Es más, si nos paramos a pensar un momento, veremos claro que la ciencia lo que hace, con sus leyes, es imponernos leyes-límites: no hay más energía que la que hay, no podemos superar la velocidad de la luz, etc.

Esto es así pese al sueño de los economistas clásicos (en el que están más del 90% de los economistas) y algunos pseudo-ingenieros que buscan energías libres. Los segundos son minoría y no pasa nada, el problema es que nos “mandan” una mayoría de economistas clásicos.

De hecho, un químico tiene siempre claro que sus leyes deben respetar las leyes de la física, y el biólogo sabe que debe respetar las leyes de la química. Y el sociólogo no debe violar las leyes biológicas.

La ciencia descansa en una pirámide con una base física.

Pero al pensar de algunos (véase la discusión con V. Navarro como ejemplo paradigmático ya), la economía clásicano tiene porqué respetar el resto de las ciencias. Es independiente de ellas. Y en realidad tienen razón, porque no es ciencia y se parece más a la astrología que a la astronomía, y poco más que horóscopos de hecho hace este tipo de economía.

No niego que no exista ciencia económica, la hay y se llama Economía Ecológica. Ésta parte, precisamente, de la idea de que las leyes de la ecología y de la física (concretamente de la termodinámica) son fundamentales y que la economía debe construirse apoyándose en ellas.

Adelantémonos a dos posibles respuestas, que ya me he encontrado, ante la idea de que la economía no puede crecer siempre exponencialmente.

1. Las leyes de la física son temporales y se han ido cambiando a lo largo de la historia, quizás la velocidad de la luz un día se supere…

Respuesta: ja, ja, ja, ja, ja, ja… En fin, sabemos de dos leyes que son hechos observacionales a estas alturas, no “teorías temporales”: la conservación de la energía (con la que se ha construido la discusión anterior) y la ley de la entropía. Millones de observaciones desde el siglo XIX las confirman, todos los días.

2. La economía puede crecer siempre exponencialmente si se “desmaterializa” gracias a la tecnología. En nuestro contexto hablaríamos de “desenergizar” la economía.

La respuesta a esta última objeción es el quiz de la controversia desde hace ya décadas de discusión entre economistas y políticos clásicos y los abogados de los límites a cualquier crecimiento exponencial.

Voy a poner de nuevo un ejemplo extremo basado en la conservación de la energía y la necesidad de usar energía para “todo movimiento”. Concedamos que un economista ha desmaterializado “completamente” su economía y que intenta crecer exponencialmente para siempre (unos miles de años).

Una vez al año, nuestro riquísimo economista, “hecho espíritu ya”, quiere saber qué dinero tiene (con precisión de un dólar) en su Banco virtual (todo es virtual claro). Pero resulta que “saber” consume energía, y por mucho que desenergice ese saber, resulta también que la energía está cuantizada (leyes de la física cuántica) y que existe finalmente un cuánto mínimo de energía (principio de incertidumbre de Heisenberg). La energía que necesita para obtener ese “saber” por tanto, crecerá invariablemente de forma exponencial con el tamaño de su dinero virtual y finalmente necesitará la energía de todo un Universo entero sólo para que alguien le transmita la información del número que le dice cuánto dinero tiene.

Y si hemos aprendido la lección de antes no será mucho tiempo después de meter nuestro Universo en la máquina perfecta, porque la constante de Planck (del orden de 10^-34) nos la comeríamos en unas decenas de duplicaciones.

Posible réplica: algunos físicos creen que podría haber infinitos Universos. Todos tranquilos pues, la función exponencial con lo único que no puede es con el infinito.

Posible réplica para expertos: Sepamos-vivamos con menos detalle y frecuencia.

Mejor respuesta: El cuento de Isaac Asimov: “La última pregunta”.

Ojalá obligaran a los economistas y políticos a comprender este cuento.

Carlos de Castro Carranza